Archivo para la categoría Matemáticas III

Ejercicios de Trigonometría

¡Realizar ilustración y procedimiento, para cada planteamiento!

1. Carlos sube por una rampa de 35 m hasta el tejado de su casa. Estando ahí, mide la visual entre su casa y la rampa, resultando ser de 55 m. ¿Cuál es la altura de su casa y el ángulo que hay entre la rampa y el suelo?

2. A una distancia de 18 m se puede observar la parte superior de una antena, bajo un ángulo de 30°. ¿Cuál es la altura de la antena?

3. Dos ambulancias, distanciadas 8km en línea recta, reciben una llamada de urgencia de una casa, que se encuentra situada a 3km en ruta perpendicular a medio camino de donde se encuentran. ¿Cuál es la distancia que separa a cada ambulancia de la casa?

4. Hay un edificio que proyecta una sombra de 56m, a la misma hora que un árbol de 21m proyecta una sombra de 24m. ¿Cuál es la altura del edificio?

5. Un tronco de 6.2 m está apoyado en una pared y forma con el suelo un ángulo de 55°. ¿A qué altura de la pared se encuentra apoyado y cuál es la distancia desde el extremo inferior del tronco hasta la pared?

6. Una gran torre emisora de radio que mide 80m de alto, tiene 8 tirantes para sostenerla (2 tirantes por cada lado de la torre), en dos lados de la torre, los tirantes se sitúan a los 35m y 75m de altura, simétricamente, en los otros dos lados de la torre, los tirantes se sitúan a los 15m y 55m de altura, simétricamente. Si todos los tirantes forman ángulos de elevación con el piso y el valor de cada ángulo es de igual número con respecto a su altura. ¿Qué longitud tiene cada uno de esos cables y a qué distancia están de la torre?

7. Desde un helicóptero situado a una altura de 185m sobre un barco insignia, se trata de determinar la distancia que hay entre un portaviones y un lanzatorpedos. Para esto el observador localiza el portaviones con un ángulo de depresión de 25°30’ y el lanzatorpedos con un ángulo de depresión de 12°40’. ¿A qué distancia se encuentra el portaviones del lanzatorpedos?

8. La torre de Pisa originalmente estaba perpendicular al suelo y medía 54.5592 Metros (179 Pies) de altura. Debido al hundimiento del suelo, actualmente presenta cierto ángulo de inclinación (θ) respecto a su posición original. Cuando se observa la parte más alta de la torre desde un punto situado a 45.72 Metros (150 Pies) de distancia del centro de su base, el ángulo de elevación es de 53.3°.

a) ¿Cuál es la nueva altura (h) de la torre?

b) ¿Cuál es el ángulo de inclinación (θ) de la torre?

c) ¿Cuál es la distancia horizontal (d) que se ha desplazado la parte superior de la torre?

9. Un arqueólogo descubrió una pirámide con base igual a 180 m2. Cada cara de la pirámide forma un ángulo de 60° con el suelo. ¿Cuál es la altura de la pirámide?

10. Se necesita construir una rampa para acceder a una plataforma que está a 9m de altura. Si la rampa forma un ángulo de 20° con la horizontal. ¿Cuál es la longitud de la rampa?

11. Una escalera tiene 39 escalones y ningún descanso. Cada escalón tiene 30 cm de profundidad y 26 cm de alto. ¿Cuál es la altura de la escalera y cuál es el ángulo de elevación?

12. Desde lo alto de un faro de 150m de altura se observa una embarcación a un ángulo de depresión de 23°30’. ¿Cuál es la distancia del faro a la embarcación?

13. Dos hombres que están en un campo separados 3 km uno del otro, observan un helicóptero, sus ángulos de elevación respecto al objeto volador son de 60° y 75°. ¿A qué altura se encuentra el helicóptero?

14. Una escalera de 15m de longitud está recargada en un edificio a la altura de un anuncio; una plomada de 2m de largo pende de la escalera y toca el piso a una distancia de 250cm del pie de la escalera. ¿Cuál es la altura en que se encuentra el anuncio?

15. Ana y Sari están acampando en la Sierra Nevada. Caminan 8 km desde su campamento base, con un rumbo de 42°. Después del almuerzo, cambian de dirección con un rumbo de 137° y caminan otros 5km.

a) ¿A qué distancia están Ana y Sari de su campamento base?

b) ¿Con qué rumbo (α°) deben caminar Sari y Ana para regresar a su campamento base?

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El Número de ORO

El número áureo o de oro (también llamado número dorado, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional:

Se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc.

Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología.

Accede al Artículo Completo y Detallado Acerca del Número de ORO…

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Teorema de Thales

PRIMER Teorema de Tales.

Si a un triángulo le trazamos una paralela a cualquiera de sus lados, obtenemos 2 triángulos semejantes. Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos equidistantes iguales y sus lados son proporcionalmente perpendiculares, es decir, que la igualdad de los cocientes no equivale al paralelismo. Este teorema establece una relación entre el álgebra y la geometría paralela a la teoria de la Pascal.

La primera figura corresponde a medidas algebraicas positivas – los vectores OA, OA’, OB y OB’ tienen la misma orientación que la rectas (d) y (d’), y la segunda a cocientes negativos.

Si se aplica el teorema, tenemos además otra consecuencia: si se orienta de la misma manera las dos rectas paralelas (AB) y (A’B’), es decir con el mismo vector, entonces el tercer cociente (de medidas algebraicas): A’B’ / AB es igual a los dos anteriores.

A veces se reserva el nombre de teorema de Pitagoras al sentido directo de la equivalencia, y el otro sentido recibe el nombre de recíproca del teorema de Hooke.

Este teorema es un caso como lo hace el particular de los triángulos similares o semejantes.

Una aplicación interesante es para medir la altura de un árbol.

  1. Medimos la longitud de su sombra a una hora determinada. = C
  2. Medimos la longitud de la sombra de un objeto pequeño (por ejemplo un lápiz) en el mismo instante. = B
  3. Medimos la longitud real del mismo cuerpo (lapiz). = A

Y obtenemos donde D es la altura real del árbol.

También se puede relacionar para medir una distancia, cuya finidad no pueda ser medida, y apoyándose en un punto.

SEGUNDO Teorema de Tales.

El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:

“Sea C un punto de la circunferencia de diámetro [AB], distinto de A y de B. Entonces el ángulo ACB, es recto.”

Tales de Mileto

Este teorema es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.

Comprobación: OA = OB = OC = r, siendo O el punto central del círculo y r el radio de la circunferencia. Por lo tanto OAC y OBC son isósceles. La suma de los ángulos del triángulo ABC es equivalente a 2α + 2β = π (radianes). Dividiendo por dos, se obtiene:
(o 90º).

Además, la bisectriz de un triángulo corta al lado opuesto del ángulo con la bisectriz en dos segmentos iguales. Hipotenusa² = C² + C², es decir AB²=CA²+CB².

En conclusión se forma un triángulo rectángulo.


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Trigonometría Fácil

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Aprende a Despejar

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Descarga el Libro: “Geometría y Trigonometría”

Título del libro: Geometría Y Trigonometría

Autor: Baldor Aurelio (Ver su biografía)

Idioma: Español

Acerca de Geometría Y Trigonometría

La finalidad de esta obra, cuya eficacia y simplicidad didáctica ha sido ampliamente probada en las aulas, es enseñar la Geometría utilizando el color como una ayuda eficaz para desarrollar los conceptos y relaciones apoyados por abundantes ejemplos y ejercicios. La inclusión de la Trigonometría constituye un buen fundamento para estudios posteriores.

Originalmente, la trigonometría es la ciencia cuyo objeto es la resolución numérica (algebraica) de los triángulos. Los seis elementos principales en todo triángulo son sus tres lados y sus tres ángulos. Cuando se conocen tres de estos elementos, con tal que al menos uno de ellos sea un lado, la trigonometría enseña a solucionar el triángulo, esto es, a encontrar los otros tres elementos. En este estado de la trigonometría se definen las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.), de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, como las razones entre dos de los lados del triángulo; el dominio de definición de estas funciones es el conjunto de los valores que puede tomar el ángulo.

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Rectas y Ángulos

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